وجودجواب ها برای معادلات دیفرانسیل کسری

در این پایان نامه، نخست مفهوم محاسبات کسری معرفی شده و تاریخچه ی آن بیان می گردد. در ادامه، چند روش مهم برای حل مسائل مقدار مرزی از معادلات با مشتقات کسری به طور مختصر مورد بررسی قرار می گیرد که پایه و اساس همگی آن ها قضایای نقطه ثابت می باشد. در نهایت به بیان قضیه ی نقطه ثابت لگت-ویلیامز می پردازیم و از آن برای حل برخی مسائل مقدار مرزی از معادلات با مشتقات کسری استفاده می کنیم. محاسبات کسری شاخه ای از آنالیز ریاضی است که با محاسبات و کاربردهای مشتق ها و انتگرال ها از مرتبه ی دلخواه سروکار دارد. محاسبات کسری به عنوان یک موضوع قدیمی شناخته شده است، زیرا این موضوع برای اولین بار توسط لیبنیز و هوپیتال در سال ‎1695‎، در قالب مکاتبه ای بین آن ها مطرح شد. موضوع محاسبات کسری در سال های اخیر به دلیل کاربردهای گسترده ی آن در زمینه های متنوع آنالیز عددی و فیزیک و مهندسی شامل مهندسی مواد، با توجه به این که در طی این سال ها بسیاری از نویسنده ها به این موضوع اشاره داشته اند که مشتقات و انتگرال ها از مرتبه ی غیرصحیح برای توصیف خواص موادهای متفاوت برای مثال پلیمرها بسیار‎ ‎‎مناسب هستند و مدل های مرتبه ی کسری جدید مناسب تر از مدل های مرتبه ی صحیح قدیمی هستند، مورد توجه ‎‎زیادی قرار گرفته است. این موضوع به دلیل کاربردهای فراوان در زمینه های مختلف علمی اخیراً بسیار مورد توجه دانشمندان قرار گرفته است و چندین تکنیک برای حل معادلات انتگرالی و معادلات با مشتقات کسری فراهم شده است. هدف اصلی این پایان نامه، ارائه ی روشهایی برای حل معادلات و سیستم های دیفرانسیل کسری می باشد. این پایان نامه‎ شامل ‎5‎ فصل است. در فصل ‎1‎، ابتدا به بیان تعاریف و قضایای مقدماتی مورد نیاز در آنالیز مانند فضاهای برداری و توپولوژیک، فضاهای باناخ و توپولوژی ضعیف پرداخته، سپس قضیه ی آرزلا-آسکولی را بیان کرده و مفهوم پیوستگی کامل را ارائه می دهیم‎. در ادامه، پس از تعریف چند نگاشت مهم و اساسی، محاسبات کسری را به تفصیل توضیح داده و به تعریف انتگرال ها و مشتقات کسری می پردازیم. در فصل ‎2‎، یک مسأله ی مقدار مرزی از معادله ی دیفرانسیل با مرتبه ی کسری را در نظر گرفته و با استفاده از قضایای نقطه ثابت وجود جواب برای این مسأله را مورد بررسی قرار می دهیم. در فصل ‎3‎، قضیه ی نقطه ثابت لگت-ویلیامز را بیان کرده و آن را برای حل مسائل مقدار مرزی از معادلات دیفرانسیل کسری متفاوت، به کار می گیریم. در فصل ‎4‎، یک دستگاه با معادلات دیفرانسیل کسری با شرایط مرزی چند نقطه ای را ارائه می دهیم و با استفاده از قضیه ی نقطه ثابت لگت-ویلیامز شرایط کافی برای وجود حداقل سه جواب مثبت برای این دستگاه را فراهم می کنیم. در فصل ‎5‎، یک دستگاه با معادلات دیفرانسیل کسری p‎‎‎-لاپلاسین‎ با شرایط مرزی چند نقطه ای را ارائه می دهیم و وجود حداقل سه جواب مثبت برای این دستگاه را بررسی می کنیم. لازم به ذکر است که فصل های 4 و 5 کارهای جدید و ابتکاری در این زمینه می باشند که اینجانب با همکاری استاد راهنمایم آن ها را به نتیجه رسانده ام.